二重积分交换积分次序 二重积分确定上下限口诀
一、累次积分如何交换次序
累次积分的交换次序可以根据Fubini定理进行交换,具体来说就是,若被积函数是一个定义在二元直角坐标系上的连续函数,则交换积分次序所得到的累次积分在原有条件下有意义,即∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dydx=∫(c,d)∫(a,b)f(x,y)dxdy。需要注意的是,一些被积函数可能不满足Fubini条件,导致积分交换次序不一定成立,此时需要考虑其他方法求解。此外,交换次序后会显著影响计算结果,需要谨慎处理。
二、二重积分如何交换积分次序例题
1、首先要作出积分的区域,再看先对哪个做出积分,如果先对x积分,则作一条平行于x轴的直线穿过积分区域,与积分区域的交点就是积分上下限,同理,如果是先对y积分,就作一条平行于y轴的,直线穿过积分上下限。
2、交换积分次序的时候,根据积分区域的不同,可能会涉及到把两个积分合成一个积分,也可能会把一个积分分成两个积分,所以具体依积分区域而定。
3、由已知的累次积分写出积分的区域D,然后再画出D的示意图,再由D的示意图画出写出D的另一类的表达式,从而就可以写出表达式。
方法已经给出来了,例题建议从对应章节例题和课后习题查找练习。
三、二重积分的计算方法步骤
把二重积分化成二次积分,也就是把其中一个变量当成常量比如Y,然后只对一个变量积分,得到一个只含Y的被积函数,再对Y积分就行了。
计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想,即把二重积分尽可能的转化为累次积分。
为此,必须注意:选取适合坐标,是否分域,如何定限。计算二重积分的主要方法有:利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简,利用直角坐标或极坐标化为二次积分,利用分域法,交换积分次序等能大大简化二重积分的计算,只要方法选得适当,二重积分的运算量就会小很多。
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二重积分的现实(物理)含义:面积×物理量=二重积分值;
举例说明:二重积分的现实(物理)含义:
二重积分计算平面面积,即:面积×1=平面面积;二重积分计算立体体积,即:底面积×高=立体体积;二重积分计算平面薄皮质量,即:面积×面密度=平面薄皮质量。
扩展资料:
二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。
在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。