arc tanx的泰勒展开 Arctanx的应用领域
一、arcsinx-arctanx的泰勒级数
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+....(arcsinx)'=(1-x^2)^(-1/2)=1+1/2x^2+(-1/2)(-3/2)/2*x^4+...，arcsinx=x+1/6x^3+3/20x^5+....
二、arctanx的性质计算
比较简单的方法，如果你知道tanA=x,那么arctanx=A。一般情况下的数学题都是这么做的。如果不知道，用泰勒公式展开F(x)=arctanx，f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)，分别求出arctanx的n阶导数带入，求出一个很精确的近似值，计算器用的是这个原理。计算器一按就可以了
三、8个常见的泰勒公式
8个常用泰勒公式:
sin?x=x?16x3+O(x3)arcsin?x=x+16x3+O(x3)\sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+O\left(x^{3}\right)\quad\arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{3}+O\left(x^{3}\right)sinx=x?
6
1
x
3
+O(x
3
)arcsinx=x+
6
1
x
3
+O(x
3
)
cos?x=1?12x2+x44!+0(x4)ln?(1+x)=x?12x2+13x3+O(x3)\cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{x^{4}}{4!}+0\left(x^{4}\right)\quad\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+O(x^{3})cosx=1?
2
1
x
2
+
4!
x
4
+0(x
4
)ln(1+x)=x?
2
1
x
2
+
3
1
x
3
+O(x
3
)
tan?x=x+13x3+O(x3)arctan?x=x?13x3+O(x3)\tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+O(x^{3})\quad\arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+O\left(x^{3}\right)tanx=x+
3
1
x
3
+O(x
3
)arctanx=x?
3
1
x
3
+O(x
3
)
ex=1+x+12x2+16x3+0(x3)(1+x)a=1+ax++a(a?1)2!x2+O(x2)e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+0\left(x^{3}\right)\quad(1+x)^{a}=1+ax++\frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+O\left(x^{2}\right)e
x
=1+x+
2
1
x
2
+
6
1
x
3
+0(x
3
)(1+x)
a
=1+ax++
2!
a(a?1)
x
2
+O(x
2
)
泰勒公式是等号而不是等价，这就使所有函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大部分极限题。